求函数f(x)=(x-1)[2x^2-(3a+4)x+9a-4]在[0,3]上的最大值与最小值

求函数f(x)=(x-1)[2x²-(3a+4)x+9a-4]在[0,3]上
的最大值与最小值,其中0<a<2.

解：

f´(x)=(x-1)´[2x^2-(3a+4)x+9a-4]
+(x-1)[2x^2-(3a+4)x+9a-4]´
=6[x²-(a+2)x+2a]
=6(x-a)(x-2)

令f´(x)=6(x-a)(x-2)=0，得两个极值点x=a 或 x=2

代入原函数，求出极值点和区间端点处的函数值如下：

f(a)=-a³+6a²-9a+4=4-a(a-3)²,
f(2)=3a-4,
f(0)=-9a+4,
f(3)=4,

以上四点是可能的最值点，考虑到 0<a<2 ,比较大小：

f(a)-f(0)=-a³+6a²-9a+4-(-9a+4)=a²(6-a)>0,
f(a)-f(3)=4-a(a-3)²-4=-a(a-3)²<0,
所以 f(0)<f(a)<f(3)，
f(a)不是最值，弃掉。

f(2)-f(3)=3a-4-4=3a-8<0,
所以 f(2)<f(3)，f(3)=4为最大值。

f(2)-f(0)=3a-4-(-9a+4)=12a-8=12(a-2/3),
当a>2/3时,f(0)=-9a+4为最小值；
当a<2/3时,f(2)=3a-4为最小值.

解：∵f（x）=（x-1）[2x2-（3a+4）x+9a-4]
∴f′（x）=6（x-2）（x-a）
∴f′（x）=0的零点是x=a，和x=2
又∵f（2）=3a-4，f（a）=-a3+6a2-9a+4
f（0）=4-9a，f（3）=4，
∵0＜a＜2